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Leyendo este post de ondasolitaria me acordé de un problema interesante que me ha dado pie a este artículo para plantearnos por qué muchas interacciones (hablando siempre de la escala macroscópica) que dependen de la distancia a un punto son inversamente proporcionales a la distancia al cuadrado. Matemáticamente lo diríamos así: \mathbf{F} \propto 1/r^{2}

¿Por qué el exponente es 2 y no 2.0000000000001 o 3 o 17? Aquí es donde entra en juego el teorema de la divergencia también llamado, sobre todo en el contexto de la Física, teorema de Gauss. Su enunciado matemático es el siguiente:

Sea V una región en el espacio cuyo contorno es \partial V. Entonces la integral de volumen de la divergencia \nabla \cdot \mathbf{F} del campo vectorial \mathbf{F}  en V y la integral de superficie de \mathbf{F} sobre el contorno \partial V de V están relacionadas por la expresión:

\displaystyle \int_{V} (\nabla \cdot \mathbf{F}) dV = \int_{\partial V} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{a}.

Esta es la definición rigurosa. Traducido en palabras nos dice que la densidad de una determinada región puede cambiar únicamente por el flujo que exista a través de las paredes que encierran dicha región. Por ejemplo, si tenemos un recipiente lleno de aire, la única manera de aumentar su densidad sería aportando más aire al interior a través de sus paredes. Digamos que, no puede espontáneamente aparecer más aire en el interior del recipiente si no ha pasado por su frontera previamente. También se puede aplicar a que, en caso de vaciarse, no podrá salir más aire del que había en un primer momento.

Aunque esta última frase suene tautológica, es importante porque no sólo se aplica a la densidad en el sentido corriente de relación entre masa  y volumen, sino cualquier tipo de densidad como por ejemplo la densidad de energía. Y esto está intimamente ligado al hecho de que la energía ni se crea ni se destruye.

Donde se suele aprender el teorema de la divergencia es en el contexto físico de la Ley de Gauss. Se trata de la aplicación del teorema de la divergencia al caso particular de que el campo vectorial \mathbf{F} es el campo eléctrico y hablamos de cargas eléctricas. Cabe mencionar que la ley de Gauss es una de las cuatro ecuaciones de Maxwell, que se deducen de forma totalmente independiente a partir de los postulados de la Relatividad Especial.

Pongamos de nuevo la analogía hidráulica. Si nos imaginamos un trozo de tubería, está claro que la cantidad de agua que entre en nuestra sección ficticia de tubería debe ser igual a la que sale ya que la superficie no actúa ni como fuente ni como sumidero, ya que no existen fugas. La densidad no va a variar porque si lo hiciera, entraría en contradicción con nuestra hipótesis de que no hay fuentes ni sumideros en esa sección.

¿Y qué tiene que ver todo esto con que los campos dependan según \mathbf{F} \propto 1/r^{2} ? Para verlo, podemos quedarnos con el caso de una esfera de radio R cuya superficie es S = 4\pi R^2.  Este resultado matemático es deducible, pero también coincide con el que obtendríamos de aplicarle el teorema de la divergencia al volumen V_{S}.

Pues bien, como hemos dicho, la cantidad de flujo debe permanecer constante. El flujo, en el teorema de la divergencia, corresponde al término de la integral de superficie pero en esencia, lo que tenemos es que el flujo \Phi_{S} \propto \mathbf{F} \cdot S y dado que el flujo hemos dicho que es constante (\Phi_{S} = constante) llegamos a que [algo que es constante] es igual a  [la superficie que depende de  r^{2}] multiplicado por [el campo de fuerzas que provoca el flujo]. Por tanto, [el campo de fuerzas que provoca el flujo] debe depender de 1/r^{2} para que sea cierto que su producto por la superficie es constante.

Es decir, el hecho de que el flujo sea constante, por el teorema de la divergencia, hace que las fuerzas radiales dependan inversamente del cuadrado de la distancia y no de cualquier otra dependencia. Ya que, de hacerlo, estaríamos violando por ejemplo las leyes de conservación de la energía, entre otras.

Normalmente soy reacio a hacer entradas con muchas matemáticas, creo que en esta sólo hace falta saber dividir, se pueden obviar las ecuaciones y seguir únicamente la explicación de las mismas.

Referencias:

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Trackbacks/Pingbacks a esta entrada:
    1. Bastante técnico, pero fácil de entender. Me ha gustado. Y lo has explicado estupendamente.

      Ah, y gracias por la referencia.

      • MiGUi dice:

        Me pensé poner o no poner las fórmulas pero creo que si quitara todas ellas el artículo seguiría siendo entendible, así que las dejo puestas, para el que le guste recrearse con la belleza de las matemáticas xD

    2. Gerardo dice:

      A ver si me he enterado:

      En tu explicación nos quedamos con el caso de una esfera de radio R, con superfície S=kR^2 (k es un valor constante). La fuerza tendrá una forma, pongamos, F=k’x (k’ otro valor constante y x variable). Comentas que a su través el flujo es constante, y puesto que éste es igual a F*S=k’x*kR^2, x deberá ser 1/R^2 para obtener que R^2/R^2=1 y quedarnos con un flujo igual a k’*k=K, es decir, constante.

      Hasta ahí si mal no he entendido. A continuación, me arriesgo a escribir algún disparate, pero ya hace tantos años que no toco estos temas…

      ¿Qué pasa si en lugar de “quedarnos con el caso de una esfera de radio R” nos quedamos con un elipsoide de radios X, Y y Z? ¿O con una pirámide? ¿O un cubo? No sería imposible tener una superficie a través de la cual hubiese un flujo constante a través de todos sus puntos… si la fuerza tuviese la x adecuada, una x que sería diferente de R^2. En tal caso, supongo que las estrellas y los planetas tendrían formas elipsoidales, piramidales o cúbicas, según el caso, y las órbitas de los segundos en torno a las primeras no tendrían la forma que tienen. Imagino un universo de formas bastante distintas.

      En cierto modo, el post no llega a contestar a la pregunta de por qué F es proporcional a 1/R^2, sino que insinua las consecuencias que esto tiene: formas esféricas. A no ser que me digas que es matemáticamente imposible que el flujo fuera constante a través de una superfície no esférica, en cuyo caso sí, por más que nos empeñásemos, sería también imposible la existencia de una fuerza radial con otra forma.

      ¿Es así o me equivoco en algún punto?

      Saludos.

    3. Joaquín dice:

      Me ha encantado. Yo creo que se entiende bien, pero no soy del todo imparcial. De que manera más impresionante encajan todas las piezas del puzle. Precioso.

    4. MiGUi dice:

      @Gerardo realmente el elegir una esfera es completamente arbitrario. Si te fijas en la definición no lo requiere para nada.

      Entiendo que tu queja se refiere a la falta de simetría en una superficie arbitraria. Si he usado una esfera es porque en la esfera es intuitivo verlo y no hace falta saber Cálculo.

      En el teorema de Gauss se elige una esfera por simplicidad a la hora de proceder en la demostración pero es generalizable a cualquier volumen encerrado por una superficie siempre que el contorno sea regular a trozos, la superficie sea una variedad y todas esas condiciones de existencia necesarias para hablar de integrales de superficie, divergencias, etcétera. Vamos, que no elijas un erizo de mar o una trompeta de Gabriel para esto :P

      Un ejemplo sencillo lo tienes en: http://en.wikipedia.org/wiki/Divergence_theorem#Examples

      El teorema de la divergencia matemático te iguala el flujo a través de una superficie con el volumen encerrado. Físicamente a eso se le puede sacar más chicha.

      Quizás no hice el suficiente hincapié en eso y te agradezco que lo hagas notar.

      Con un elipsoide funcionaría igual. El volumen de un elipsoide de ejes a,b,c es $latex V = \frac{4\pi abc} 3$ en cambio, su superficie es difícil de calcular y necesita integrales elípticas.

      Si te fijas en el gráfico que he usado de la Wikipedia, la idea es que las mismas líneas de fuerza que salen (o que entran) del cuerpo, por ejemplo, una carga eléctrica, atravesarán la superficie imaginaria. Si salen 3, por el otro lado veremos 3. No se pierden.

      La A pintada te indica que la superficie crece y obviamente el número de líneas de campo por cada elemento de superficie cambia conforme ésta se hace mayor, pero es que el teorema de Gauss no te dice que cada elemento de superficie por su cuenta sea nada, sino que la suma de todos a lo largo de toda la superficie, es constante.

      Espero que quede más claro así :)

    5. RaFa dice:

      Mmm esta vez no he llegado a entenderlo todo, qué le vamos a hacer…
      Por cierto, ese ejercicio que propones en los comentarios del post al que enlazas… supongo que tiene mucho que ver con este tema, ¿no? Es que llevo estos 3 días pensándolo y no se me ocurre nada, supongo que no llevo al nivel :P

    6. MiGUi dice:

      Hola RaFa ¿a qué ejercicio te refieres? ¿al ejemplo que le puse a Gerardo?

    7. Gerardo dice:

      Me doy cuenta de que estoy algo oxidado. Un día tendré que coger mis libros y repasar ciertas cosas.

      Vi que utilizabas la ecuación de una esfera y de ello deduje que usando otra superficie cerrada obtendríamos algo diferente. En realidad, estaba pensando en otra cosa. Una carga o una masa puntuales generan en torno a sí un campo de potencial eléctrico y gravitatorio respectivamente, cuya inténsidad es homogénea para cada uno de los puntos que están a un mismo radio de la carga o masa. Yo me imaginé en la posibilidad de un hipotético universo en el que generasen un campo con otra forma, por ejemplo un elipsoide. De ese modo, las líneas de campo emitidas sobre un plano serían más intensas que las líneas emitidas en otro plano perpendicular. Por ello imaginé astros con otras formas, distibuyéndose las partículas que los formarían en función de la intensidad de los campos gravitatorios que los las mantendrían unidas.

      Todas estas ideas me impidieron ver de qué iba esto: la cuestión es que la atracción gravitatoria disminuiría con una razón de 1/r^2, aunque en un plano las fuerzas fueran más intensas que en otro para un mismo r. Despues de todo, en el dibujo no aparece la superficie de una esfera, sino lo que podríamos llamar un diferencial de superficie. En el hipotético universo que yo imaginé, las ecuaciones de la fuerza seguirían siendo aplicables, aunque la magnitud de la parte constante de la ecuación variaría en función del plano del campo.

      En fin, releo lo que he escrito y temo haberla liado más. Pero bueno, no pasa nada. Muy bien.

      Saludos.

    8. matias dice:

      alguna ayuda por favor,si tengo una esfera dielectrica de radio R,¿como seria la divergencia del campo electrico adentro y afuera?? y como seria el rotor de E adentro y afuera?? gracias..