Leyendo este post de ondasolitaria me acordé de un problema interesante que me ha dado pie a este artÃculo para plantearnos por qué muchas interacciones (hablando siempre de la escala macroscópica) que dependen de la distancia a un punto son inversamente proporcionales a la distancia al cuadrado. Matemáticamente lo dirÃamos asÃ:
¿Por qué el exponente es 2 y no 2.0000000000001 o 3 o 17? Aquà es donde entra en juego el teorema de la divergencia también llamado, sobre todo en el contexto de la FÃsica, teorema de Gauss. Su enunciado matemático es el siguiente:
Sea 
Esta es la definición rigurosa. Traducido en palabras nos dice que la densidad de una determinada región puede cambiar únicamente por el flujo que exista a través de las paredes que encierran dicha región. Por ejemplo, si tenemos un recipiente lleno de aire, la única manera de aumentar su densidad serÃa aportando más aire al interior a través de sus paredes. Digamos que, no puede espontáneamente aparecer más aire en el interior del recipiente si no ha pasado por su frontera previamente. También se puede aplicar a que, en caso de vaciarse, no podrá salir más aire del que habÃa en un primer momento.
Aunque esta última frase suene tautológica, es importante porque no sólo se aplica a la densidad en el sentido corriente de relación entre masa y volumen, sino cualquier tipo de densidad como por ejemplo la densidad de energÃa. Y esto está intimamente ligado al hecho de que la energÃa ni se crea ni se destruye.
Donde se suele aprender el teorema de la divergencia es en el contexto fÃsico de la Ley de Gauss. Se trata de la aplicación del teorema de la divergencia al caso particular de que el campo vectorial
Pongamos de nuevo la analogÃa hidráulica. Si nos imaginamos un trozo de tuberÃa, está claro que la cantidad de agua que entre en nuestra sección ficticia de tuberÃa debe ser igual a la que sale ya que la superficie no actúa ni como fuente ni como sumidero, ya que no existen fugas. La densidad no va a variar porque si lo hiciera, entrarÃa en contradicción con nuestra hipótesis de que no hay fuentes ni sumideros en esa sección.
¿Y qué tiene que ver todo esto con que los campos dependan según 
Pues bien, como hemos dicho, la cantidad de flujo debe permanecer constante. El flujo, en el teorema de la divergencia, corresponde al término de la integral de superficie pero en esencia, lo que tenemos es que el flujo 
Es decir, el hecho de que el flujo sea constante, por el teorema de la divergencia, hace que las fuerzas radiales dependan inversamente del cuadrado de la distancia y no de cualquier otra dependencia. Ya que, de hacerlo, estarÃamos violando por ejemplo las leyes de conservación de la energÃa, entre otras.
Normalmente soy reacio a hacer entradas con muchas matemáticas, creo que en esta sólo hace falta saber dividir, se pueden obviar las ecuaciones y seguir únicamente la explicación de las mismas.
Referencias:
- Inverse-squared law en Wikipedia.
- Divergence Theorem en MathWorld.
Bastante técnico, pero fácil de entender. Me ha gustado. Y lo has explicado estupendamente.
Ah, y gracias por la referencia.
Me pensé poner o no poner las fórmulas pero creo que si quitara todas ellas el artÃculo seguirÃa siendo entendible, asà que las dejo puestas, para el que le guste recrearse con la belleza de las matemáticas xD
A ver si me he enterado:
En tu explicación nos quedamos con el caso de una esfera de radio R, con superfÃcie S=kR^2 (k es un valor constante). La fuerza tendrá una forma, pongamos, F=k’x (k’ otro valor constante y x variable). Comentas que a su través el flujo es constante, y puesto que éste es igual a F*S=k’x*kR^2, x deberá ser 1/R^2 para obtener que R^2/R^2=1 y quedarnos con un flujo igual a k’*k=K, es decir, constante.
Hasta ahà si mal no he entendido. A continuación, me arriesgo a escribir algún disparate, pero ya hace tantos años que no toco estos temas…
¿Qué pasa si en lugar de “quedarnos con el caso de una esfera de radio R” nos quedamos con un elipsoide de radios X, Y y Z? ¿O con una pirámide? ¿O un cubo? No serÃa imposible tener una superficie a través de la cual hubiese un flujo constante a través de todos sus puntos… si la fuerza tuviese la x adecuada, una x que serÃa diferente de R^2. En tal caso, supongo que las estrellas y los planetas tendrÃan formas elipsoidales, piramidales o cúbicas, según el caso, y las órbitas de los segundos en torno a las primeras no tendrÃan la forma que tienen. Imagino un universo de formas bastante distintas.
En cierto modo, el post no llega a contestar a la pregunta de por qué F es proporcional a 1/R^2, sino que insinua las consecuencias que esto tiene: formas esféricas. A no ser que me digas que es matemáticamente imposible que el flujo fuera constante a través de una superfÃcie no esférica, en cuyo caso sÃ, por más que nos empeñásemos, serÃa también imposible la existencia de una fuerza radial con otra forma.
¿Es asà o me equivoco en algún punto?
Saludos.
Me ha encantado. Yo creo que se entiende bien, pero no soy del todo imparcial. De que manera más impresionante encajan todas las piezas del puzle. Precioso.
@Gerardo realmente el elegir una esfera es completamente arbitrario. Si te fijas en la definición no lo requiere para nada.
Entiendo que tu queja se refiere a la falta de simetrÃa en una superficie arbitraria. Si he usado una esfera es porque en la esfera es intuitivo verlo y no hace falta saber Cálculo.
En el teorema de Gauss se elige una esfera por simplicidad a la hora de proceder en la demostración pero es generalizable a cualquier volumen encerrado por una superficie siempre que el contorno sea regular a trozos, la superficie sea una variedad y todas esas condiciones de existencia necesarias para hablar de integrales de superficie, divergencias, etcétera. Vamos, que no elijas un erizo de mar o una trompeta de Gabriel para esto
Un ejemplo sencillo lo tienes en: http://en.wikipedia.org/wiki/Divergence_theorem#Examples
El teorema de la divergencia matemático te iguala el flujo a través de una superficie con el volumen encerrado. FÃsicamente a eso se le puede sacar más chicha.
Quizás no hice el suficiente hincapié en eso y te agradezco que lo hagas notar.
Con un elipsoide funcionarÃa igual. El volumen de un elipsoide de ejes a,b,c es $latex V = \frac{4\pi abc} 3$ en cambio, su superficie es difÃcil de calcular y necesita integrales elÃpticas.
Si te fijas en el gráfico que he usado de la Wikipedia, la idea es que las mismas lÃneas de fuerza que salen (o que entran) del cuerpo, por ejemplo, una carga eléctrica, atravesarán la superficie imaginaria. Si salen 3, por el otro lado veremos 3. No se pierden.
La A pintada te indica que la superficie crece y obviamente el número de lÃneas de campo por cada elemento de superficie cambia conforme ésta se hace mayor, pero es que el teorema de Gauss no te dice que cada elemento de superficie por su cuenta sea nada, sino que la suma de todos a lo largo de toda la superficie, es constante.
Espero que quede más claro asÃ
Mmm esta vez no he llegado a entenderlo todo, qué le vamos a hacer…
Por cierto, ese ejercicio que propones en los comentarios del post al que enlazas… supongo que tiene mucho que ver con este tema, ¿no? Es que llevo estos 3 dÃas pensándolo y no se me ocurre nada, supongo que no llevo al nivel
Hola RaFa ¿a qué ejercicio te refieres? ¿al ejemplo que le puse a Gerardo?
Me doy cuenta de que estoy algo oxidado. Un dÃa tendré que coger mis libros y repasar ciertas cosas.
Vi que utilizabas la ecuación de una esfera y de ello deduje que usando otra superficie cerrada obtendrÃamos algo diferente. En realidad, estaba pensando en otra cosa. Una carga o una masa puntuales generan en torno a sà un campo de potencial eléctrico y gravitatorio respectivamente, cuya inténsidad es homogénea para cada uno de los puntos que están a un mismo radio de la carga o masa. Yo me imaginé en la posibilidad de un hipotético universo en el que generasen un campo con otra forma, por ejemplo un elipsoide. De ese modo, las lÃneas de campo emitidas sobre un plano serÃan más intensas que las lÃneas emitidas en otro plano perpendicular. Por ello imaginé astros con otras formas, distibuyéndose las partÃculas que los formarÃan en función de la intensidad de los campos gravitatorios que los las mantendrÃan unidas.
Todas estas ideas me impidieron ver de qué iba esto: la cuestión es que la atracción gravitatoria disminuirÃa con una razón de 1/r^2, aunque en un plano las fuerzas fueran más intensas que en otro para un mismo r. Despues de todo, en el dibujo no aparece la superficie de una esfera, sino lo que podrÃamos llamar un diferencial de superficie. En el hipotético universo que yo imaginé, las ecuaciones de la fuerza seguirÃan siendo aplicables, aunque la magnitud de la parte constante de la ecuación variarÃa en función del plano del campo.
En fin, releo lo que he escrito y temo haberla liado más. Pero bueno, no pasa nada. Muy bien.
Saludos.
alguna ayuda por favor,si tengo una esfera dielectrica de radio R,¿como seria la divergencia del campo electrico adentro y afuera?? y como seria el rotor de E adentro y afuera?? gracias..