Vi que utilizabas la ecuación de una esfera y de ello deduje que usando otra superficie cerrada obtendríamos algo diferente. En realidad, estaba pensando en otra cosa. Una carga o una masa puntuales generan en torno a sí un campo de potencial eléctrico y gravitatorio respectivamente, cuya inténsidad es homogénea para cada uno de los puntos que están a un mismo radio de la carga o masa. Yo me imaginé en la posibilidad de un hipotético universo en el que generasen un campo con otra forma, por ejemplo un elipsoide. De ese modo, las líneas de campo emitidas sobre un plano serían más intensas que las líneas emitidas en otro plano perpendicular. Por ello imaginé astros con otras formas, distibuyéndose las partículas que los formarían en función de la intensidad de los campos gravitatorios que los las mantendrían unidas.

Todas estas ideas me impidieron ver de qué iba esto: la cuestión es que la atracción gravitatoria disminuiría con una razón de 1/r^2, aunque en un plano las fuerzas fueran más intensas que en otro para un mismo r. Despues de todo, en el dibujo no aparece la superficie de una esfera, sino lo que podríamos llamar un diferencial de superficie. En el hipotético universo que yo imaginé, las ecuaciones de la fuerza seguirían siendo aplicables, aunque la magnitud de la parte constante de la ecuación variaría en función del plano del campo.

En fin, releo lo que he escrito y temo haberla liado más. Pero bueno, no pasa nada. Muy bien.

Saludos.

Entiendo que tu queja se refiere a la falta de simetría en una superficie arbitraria. Si he usado una esfera es porque en la esfera es intuitivo verlo y no hace falta saber Cálculo.

En el teorema de Gauss se elige una esfera por simplicidad a la hora de proceder en la demostración pero es generalizable a cualquier volumen encerrado por una superficie siempre que el contorno sea regular a trozos, la superficie sea una variedad y todas esas condiciones de existencia necesarias para hablar de integrales de superficie, divergencias, etcétera. Vamos, que no elijas un erizo de mar o una trompeta de Gabriel para esto

Un ejemplo sencillo lo tienes en: http://en.wikipedia.org/wiki/Divergence_theorem#Examples

El teorema de la divergencia matemático te iguala el flujo a través de una superficie con el volumen encerrado. Físicamente a eso se le puede sacar más chicha.

Quizás no hice el suficiente hincapié en eso y te agradezco que lo hagas notar.

Con un elipsoide funcionaría igual. El volumen de un elipsoide de ejes a,b,c es $latex V = \frac{4\pi abc} 3$ en cambio, su superficie es difícil de calcular y necesita integrales elípticas.

Si te fijas en el gráfico que he usado de la Wikipedia, la idea es que las mismas líneas de fuerza que salen (o que entran) del cuerpo, por ejemplo, una carga eléctrica, atravesarán la superficie imaginaria. Si salen 3, por el otro lado veremos 3. No se pierden.

La A pintada te indica que la superficie crece y obviamente el número de líneas de campo por cada elemento de superficie cambia conforme ésta se hace mayor, pero es que el teorema de Gauss no te dice que cada elemento de superficie por su cuenta sea nada, sino que la suma de todos a lo largo de toda la superficie, es constante.

Espero que quede más claro así