La constante cosmológica: sus orígenes

Publicado el Jueves, 8 de noviembre de 2007 por MiGUi en Física
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El principio de Mach postula que la inercia de un cuerpo viene determinada por su interacción con el resto de la materia del universo.

Una forma de expresar esta idea es estableciendo una relación entre la masa inercial de un cuerpo y la acción gravitatoria del resto de las masas sobre él. En una aproximación tomando el espaciotiempo plano de la relatividad especial y considerando un sistema de referencia en el cual el cuerpo se encuentra en reposo, la energía potencial gravitatoria del cuerpo sumergido entre el resto de las masas deberá ser compensada exáctamente por su energía en reposo:

\displaystyle m \, c^2 = \Sigma_i \left(G \, m \, m_i \, / \, r_i\right)

Esto lo podemos reescribir como:

\displaystyle \frac{G}{c^2} \Sigma_i \frac{m_i}{r_i} = \frac{G}{c^2} \frac{M_U}{R_U} = 1

Con \displaystyle M_U, R_U la masa y el radio del universo causalmente contectado respectivamente. Si asumimos que la masa del universo no varía \displaystyle M_U = \text{const.} , entonces su radio tampoco ha de variar \displaystyle R_U = \text{const.} y concluimos que el universo ha de ser estático.

Albert Einstein, sólidamente convencido de la validez del principio de Mach en todas sus facetas, asumió que el universo debía ser estático en base a un argumento poco acertado similar a este.

Lo hizo pese a que la relatividad general formulada por él en 1916 indica todo lo contrario. La segunda ecuación de Friedmann, mencionada en la entrada anterior y caso especial de las ecuaciones de la relatividad general, nos muestra que en general todo contenido del universo da lugar a \displaystyle \ddot a \neq 0 y, con ello, la geometría y las distancias han de variar necesariamente, impidiendo un universo estático.

Para solventar el problema y lograr pese a ello un universo estático, Einstein introdujo la constante cosmológica en la relatividad general, cuyo significado y efecto en las ecuaciones vamos a ver a continuación.

Primero, conviene entender a muy grosso modo que las ecuaciones de la relatividad general tienen una forma así:

\displaystyle (\text{Geometria}) = \kappa \, (\text{Energia y Momento})

La parte izquierda representa la geometría del espaciotiempo y la parte derecha la energía y el momento del contenido del espaciotiempo. La constante \displaystyle \kappa describe en qué medida la energía y el momento son capaces de actuar sobre la geometría y deformar el espaciotiempo.

Originalmente, la constante cosmológica \displaystyle \Lambda es un elemento que se introduce en la parte izquierda de esas ecuaciones. Es decir, se trata de un elemento de la geometría o a la par con esta:

\displaystyle (\text{Geometria}) - (\text{Termino con } \Lambda) = \kappa \, (\text{Energia y Momento})

Cuando a esas ecuaciones se les aplican las condiciones de homogeneidad e isotropía en la distribución de densidad en el espacio, se obtienen la primera y la segunda ecuaciones de Friedmann, que describen la dinámica del universo. La segunda ecuación de Friedmann con constante cosmológica es:

Vemos que para un contenido de materia y radiación dado, de densidad y presiones positivas y que hacen por tanto negativa la parte derecha, si \displaystyle \Lambda es suficiéntemente grande, entonces \displaystyle \ddot a puede ser cero.

Con esto Einstein logró su propósito.

Sin embargo, tuvo que retractarse cuando las observaciones de Hubble y posteriores mostraron hacia 1930 que el universo no era estático. La constante cosmológica quedó apartada de la relatividad general y la cosmología. No obstante, hace una década la idea de la constante cosmológica ha vuelto a la actualidad de la cosmología en una apasionante historia de descubrimientos, que nos ocupará en la próxima entrada.

Pero antes de ello debemos equiparnos con una idea técnica más. En la entrada anterior hemos visto que la constante cosmológica se puede considerar como un contenido del universo y no como geometría. Para mostrar esto, primero, es evidente que se puede pasar \displaystyle \Lambda a la parte derecha de las ecuaciones de la relatividad general:

\displaystyle (\text{Geometria}) = \kappa \, (\text{Energia y Momento}) + (\text{Termino con } \Lambda)

En tal caso, la segunda ecuación de Friedmann queda:

Pero además podemos hacer otra cosa. Podemos <em>asumir</em> que la constante cosmológica lleva asociada una energía y un momento, o, equivalentemente, que la constante cosmológica es creada por algo con energía y momento. En tal caso:

En definitiva, volvemos con ello a la forma original de las ecuaciones de la relatividad general al considerar a la constante cosmológica como parte del contenido del espaciotiempo. Juntando ambos términos de la derecha:

\displaystyle (\text{Geometria}) = \kappa \, (\text{Energia y Momento})

En tal caso la segunda ecuación de Friedmann queda tal y como vimos en la entrada anterior:

Pero nótese ahora la diferencia: mientras que antes teníamos un contenido de materia y radiación con densidad y presiones positivas que eran contrarrestadas por un término a la izquierda, ahora tenemos un un contenido de materia y radiación con densidad y presiones positivas, y adicionalmente, un contenido con constante cosmológica. Este contenido de constante cosmológica deberá tener densidad o presión negativa para poder contrarrestar las densidades y presiones de la materia y la radiación.

Pues bien, se puede mostrar que una constante cosmológica como la postulada tiene una densidad positiva pero ejerce una presión negativa. Más sobre esto próximamente.

Contribución de jjo.

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