Fuera del contexto académico o científico nadie ha oído hablar de la matemática alemana Emmy Noether. Y es una pena, porque es una de las grandes mujeres que dió la ciencia en una época además donde era monopolio casi indiscutible de los hombres. Cabe destacar que en 1928 la Universidad de Erlangen prohibió la matriculación de mujeres porque “destrozaría el orden académico”. Y esas no fueron las únicas barreras que tuvo que afrontar Noether en su vida por el hecho de ser mujer. Tras hacer el doctorado en la Universidad de Heidelberg, pudo entrar a formar parte del profesorado de la Universidad de Gotinga gracias a Hilbert y Klein en la que estuvo impartiendo clases durante muchos años.

Emmy Noether es recordada por el teorema que lleva su nombre. Se dice que dicho teorema es uno de los más bellos de las matemáticas y uno de los que de forma más significativa cambió el curso de la física moderna a lo largo del siglo XX y muchos la consideran la madre del álgebra moderna. De hecho, Einstein y otros decían que era la mujer más importante de la historia de las matemáticas.

El teorema de Noether se trata de una demostración constructiva. Es decir, no se limita a decir que la solución existe para la pregunta que se formula sino que además permite dar la fórmula que construye dicha solución. Algo que se ve muy pocas veces y que, unido a la relativa sencillez del planteamiento y del desarrollo convierten a este teorema en una auténtica joya.

El teorema de Noether afirma que para cada simetría existe una ley de conservación asociada. ¿Y qué significa esto?

Las simetrías en álgebra pertenecen al grupo de las transformaciones lineales al igual que las rotaciones. En esencia, simetría y rotación constituyen dos maneras de operar con un cuerpo manteniendo su forma y su tamaño. Las simetrías, geométricamente, pueden ser respecto a un plano (la mayoría de los animales tienen simetría bilateral), con respecto a un eje rectilíneo (un cuerpo de revolución) o respecto a un punto (un segmento, considerando el punto de simetría su punto medio).

En Física, el concepto de simetría va un paso más allá y en vez de ser simplemente un resultado geométrico se aplica la definición. Se dice que un cuerpo tiene una cierta simetría si tras operar con él mediante transformaciones lineales el sistema se queda tal cual estaba. Por ejemplo, una función simétrica puede ser una en la que obtenemos el mismo resultado poniendo “x” que “-x”. Algo menos abstracto. Si tenemos un vaso sobre una mesa, da igual que el vaso esté en el centro que unos centímetros más cerca del borde: las leyes de la física no dependen de que esa mesa sea más o menos grande, tenemos una simetría en el sistema. Otro ejemplo puede ser en una rotación: si el sistema rotado queda igual que está: un cubo al girarlo 90 grados (simetría discreta, pues requiere saltos de una cantidad determinada para ser simétrico) o una esfera (simetría continua, ya que da igual la rotación aplicada).

Y en cuanto a las leyes de conservación. Es muy interesante tener en un problema una cantidad que se conserva, es decir, que no cambia de valor neto en el transcurso de la evolución de nuestro sistema aislado. Porque de este modo, si nuestro problema consiste en saber el estado final partiendo de un estado inicial, el hecho de que una cantidad se conserve nos ayuda a resolverlo, ya que aunque desconozcas el valor del resto de las magnitudes, si se relacionan con una cantidad conservada, al menos puedes plantear las ecuaciones sabiendo el resultado que tiene que obtenerse. Y saber el resultado de antemano es de gran ayuda porque ahorra muchos quebraderos de cabeza.

Ejemplos de cantidades que se conservan hay por doquier, y cada una lleva asociada una “ley de conservación”. La más famosa es probablemente la ley de conservación de la energía, también llamada Primer Principio de la Termodinámica: la energía de un sistema aislado ni se crea ni se destruye (si el sistema no está aislado, hay fugas hacia el exterior o fuentes de energía, por eso la coletilla “aislado”) está asociada a la simetría temporal. Otros ejemplos: la conservación de la cantidad de movimiento (inercia) asociada a la simetría de traslación. El caso paradigmático de esto son los choques donde no hay deformaciones que disipen parte de la energía. Y sobre la conservación del momento angular ya hablé largo y tendido en alguna ocasión y que está asociada a la simetría rotacional.

Lo que dice el teorema de Noether es que para cada simetría hay una ley de conservación asociada. Y no solo eso, nos dice como obtenerla. La demostración es muy bonita y la pongo en Referencias para el que le pueda interesar. Lo bueno de esto es que en investigación, si uno encuentra una cantidad conservada ya sabe de antemano qué cosas la teoría no va a permitir, lo cual quita mucha paja y deja el trigo para poder trabajar mejor hacia la dirección adecuada.

De la misma manera, si el sistema tiene una cierta homogeneidad en algún sentido sabremos que hay una ley de conservación responsable de ello, o consecuencia de ello. Muchas veces se empieza con el enunciado “sea un espacio isótropo y homogéneo”. Isótropo quiere decir que todas las direcciones son equivalentes y que sea homogéneo que todos los puntos son equivalentes. Por ejemplo, el espacio en ausencia de gravedad. Porque la gravedad rompe la simetría en favor de una dirección privilegiada: la de la gravedad.

Es asombroso que simplemente con el hecho de que el sistema tenga una cierta simetría se conserve alguna cantidad. Y no menos asombroso el hecho de que gracias a Noether podamos obtener la ley en concreto con saber qué magnitud es la que se conserva.

Referencias:
Biografía de Emmy Noether, en Wikipedia.es.
Demostración del teorema de Noether, en el foro.
Noether’s theorem, en Wikipedia.org.
Conservation law, en Wikipedia.org