Obtener leyes de conservación en universos discretos

Publicado el Miércoles, 30 de marzo de 2011 por MiGUi en Física
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Hay pocas cosas que puedan gustar más a un físico teórico que la simetría y las leyes de conservación. Gran parte de esa diversión y elegancia matemática suprema se la debemos al teorema de Noether, una física que demostró que para cada simetría existe asociada una ley de conservación. ¡Y no solo eso! Su demostración es constructiva, por lo que se puede deducir la ley de conservación aplicando el teorema de Noether a la simetría en particular. ¡Casi ná!

¿Y por qué son tan interesantes las leyes de conservación? Pues porque a veces son un pilar fundamental en el que apoyarse cuando no conoces mucho acerca de cómo va a ser tu sistema cuando evolucione, tener una ley de conservación te permite saber cómo van a ser algunas cosas.

Básicamente, las leyes de conservación establecen igualdades de la siguiente forma:

Propiedad que se conserva[Situación A(x,y,z,t)] = Propiedad que se conserva [Situación B(x',y',z',t')]

Es decir, la propiedad que se conserva mantiene su valor en dos situaciones distintas con distintas coordenadas (siempre y cuando el sistema pueda evolucionar de A a B).

Así, puede que sepamos muy poco acerca de “Situación B” pero lo que sí sabemos es que la propiedad que se conserva, mantendrá su valor. Y a partir de ahí podemos sacar conclusiones físicas o resolver problemas, al menos en parte. Son un apoyo muy importante, además de ser un resultado de gran elegancia matemática y armonía :)

Ejemplos de leyes de conservación en nuestro universo hay por doquier. Y gracias al teorema de Noether, basta descubrir una simetría -continua- (es decir, una situación en la que nuestro sistema es igual, aunque varíes algunas de sus propiedades) para encontrarlas.

La ley de conservación de la energía es la más conocida, se deriva a partir del teorema de Noether con facilidad pero a partir de una función llamada “lagrangiano” que es una función fundamental que permite obtener la evolución de un sistema físico. En “Conservación de la energía; Wikipedia.org podéis encontrar una discusión más matemática.

Pero, ejemplos más fáciles de ver que no requieran tantas matemáticas. Por ejemplo, se dice que el universo es “isótropo y homogéneo”. Imaginémoslo como una gigantesca caja vacía. Homogéneo quiere decir que todos los puntos son equivalentes. Dicho de otro modo, que si hacemos un experimento físico en un punto del universo los resultados deben dar exactamente lo mismo que si nos vamos a otra parte y lo repetimos, porque todos los puntos son equivalentes.

De la homogeneidad del universo, como simetría que es, se obtiene el principio de conservación de la cantidad de movimiento o momento lineal.

Otro ejemplo. En este universo-caja además de ser todos los puntos equivalentes, deben serlo también las direcciones. Es decir, no existe un arriba-abajo salvo que haya una fuerza que rompa la simetría. Por tanto, las leyes de la física deben reproducir los mismos resultados con independencia de la dirección arbitraria que escojamos para el desplazamiento.

Esta simetría se llama “isotropía del universo” y tiene como consecuencia la conservación del momento angular. El caso del momento angular lo analicé hace tiempo en “Algunas notas sobre la conservación del momento angular” y os invito a echarle un vistazo y también, alguna cosilla sobre el equilibrio. Esto también está relacionado con que el universo sea igual aunque rotemos nuestro punto de vista, y los resultados también deben ser equivalentes.

Así que, las simetrías tienen consecuencias muy profundas en cómo es la física en el universo. Y por si fuera poco, te ayudan mucho a resolver problemas donde apenas tienes salientes a los que aferrarte. Por eso son interesantes y por eso gustan mucho a los físicos.

Las que he descrito, son ejemplos de simetrías continuas. El teorema de Noether está limitado a este tipo de simetrías, pero no son las únicas que existen.

En un ejercicio de abstracción muy interesante unos científicos italianos han propuesto en una conferencia lo que pasaría al hacer esta construcción, es decir, derivar las leyes de conservación a partir de simetrías usando el teorema de Noether, y lo han publicado en arxiv. La conferencia lleva por título “Can anything from Noether’s theorem be salvaged for discrete dynamical systems?” (arXiv:1103.4785v1 [nlin.CG]). Son seis páginas sin apenas fórmulas y con mucha chicha física y matemática detrás. No obstante, los chicos de Technology Review se han hecho eco de esto y han publicado en el blog de Arxiv una reseña, titulada First Conservation Laws Derived For A Virtual Universe. La traduzco (libremente) a continuación.

Una de las ideas más bellas, poderosas e importantes de la física moderna es el Teorema de Noether. Básicamente afirma que las leyes fundamentales de la física son manifestaciones de simetrías en el universo.

Si el universo tiene simetría rotacional, entonces debe obedecer a la ley de conservación del momento angular, si tiene simetría temporal, la energía debe conservarse, y demás.

Es difícil comprender el profundo alcance de este resultado. Parece como levantar el tejido del universo para revelar una profunda belleza debajo de éste.

Una revisión más minuciosa del teorema de Noether hace encontrar en él algunas limitaciones importantes. Se ve que los resultados pueden aplicarse únicamente a ciertos sistemas, que tienen simetrías continuas.

Eso excluye directamente a sistemas discretos, que son paso a paso, a saltos. Estos sistemas incluyen por ejemplo máquinas de Turing, que tal vez algunos lectores conozcan bien.

Tomemos por ejemplo, el famoso juego de Conway “game of life”, en el cual formas parecidas a la vida pueden ser generadas usando un autómata celular. Esto ocurre en una malla cuadrada, que es simétrica bajo ciertas rotaciones (N. del T: las que giran 90º toda la malla), pero no bajo rotaciones continuas. Y en este mundo, el tiempo avanza en pasos discretos en lugar de fluir en un continuo.

Claramente, el teorema de Noether no se puede aplicar aquí. ¿Entonces, qué ocurre con las leyes de conservación? ¿Debemos olvidarnos de leyes como la conservación de la energía y el momento angular en el “game of life”?

Hoy, Tommasso Tofoli en la Boston University y Silvio Capobianco en la Tallinn University of Technology en Estonia han abordado estas preguntas exactamente. Su respuesta es una revelación, de algún modo. Encontraron una familia de sistemas discretos que obedecen un teorema parecido al de Noether y muestran por qué.

El sistema que estudian es un modelo de espín, el modelo de Ising. Se trata de una matriz bidimensional de pequeñas unidades de imanes que pueden apuntar arriba o abajo (N.del T: si lo preferís, norte o sur). Cada uno de los imanes está acoplado con sus cuatro vecinos más cercanos, como el análogo matemático a una lámina elástica. La lámina se contrae si los vecinos oponen la dirección de su espín y se expande si lo tienen en la misma dirección.

La pregunta que Toffoli y Capobianco estudian es cómo este sistema se comporta, cómo el espín cambia de un estado a otro, pero primero se imponen un importante límite en el tipo de interacciones que puedan tener lugar.

La condición es que el espín cambia únicamente si al hacerlo deja invariante la suma de energías potenciales de los cuatro vecinos más próximos. Esto puede ocurrir si dos de los vecinos tienen el espín paralelo (N. del T: apuntando en la misma dirección) mientras los otros dos son antiparalelos (N. del T: apuntando en direcciones opuestas). Este tipo de sistema se conoce como modelo de Ising microcanónico.

Esta condición tiene consecuencias importantes. Significa que la energía potencial siempre se conserva.

Pero pensemos esto en detalle y encontraremos una pequeña dificultad para averiguar qué entendemos por energía exactamente. El número de espines arriba o abajo de los imanes puede cambiar dramáticamente por eso no se puede considerar que eso se conserve. Pese a todo, la frontera entre ellos tiene que tener siempre la misma longitud. Podemos definir esta longitud como energía, y se conserva de forma natural.

(Por supuesto, los imanes, láminas elásticas y energías potenciales no son reales pero es útil pensar en estos términos en sistemas así.)

Esto puede parecer una definición de energía bastante arbitraria pero Toffoli y Capobianco muestran que tiene las mismas propiedades matemáticas que la energía de nuestro universo real (y definir qué es energía en nuestro universo es de por sí difícil de hacer).

Además, hay otro aspecto de este sistema que es fácil de olvidar pero importante para la conservación. Esta es la estructura de un espaciotiempo discreto en el que tiene lugar cualquier situación, en otras palabras, la malla bidimensional y los pasos de tiempo en los que puede ocurrir.

El clímax del paper de Toffoli y Capobianco es la demostración de que la energía únicamente puede ser conservada si el espaciotiempo es invariante, que todas las direcciones y tiempos en el universo de Ising son esencialmente equivalentes.

En este sentido, muestran cómo un teorema tipo Noether puede ser aplicado a un universo discreto.

Esto es muy importante. Quiere decir que las mismas reglas de simetría que han sido aplicadas con gran éxito a la física moderna se pueden aplicar también a nuevas disciplinas que empiezan a explotar modelos discretos. Esto incluye muchas ciencias sociales, economía, web y por supuesto, ciencia computacional.

En efecto, estos chicos han usado la simetría para obtener las leyes de conservación en un mundo virtual, por primera vez.

Pero el significado va incluso más allá. Lo que une todas estas disciplinas es la información. Todo esto es parte de un nuevo impulso de la ciencia moderna que ignora las propiedades superficiales de la realidad física y se va a buscar la roca madre: la información con la que el universo está construído.

Aunque no lo digan explícitamente, lo que Toffoli y Capobianco están estudiando es el rol que teoremas tipo Noether pueden desempeñar en la ciencia basada en la información.

Por supuesto, esto genera muchas preguntas también. Toffoli y Capobianco únicamente dejan como ejemplo un sistema discreto en el que aplicar un teorema tipo Noether. Lo que mucha gente querrá saber es en qué modo puede generalizarse esto. ¿Se podría, por ejemplo, aplicar al “game of life” de Conway?

En cualquier caso, Toffoli y Capobianco han hecho un inicio prometedor. Y como ellos mismos dicen: “Esto es solo el principio de lo que parece ser una nueva línea de investigación prometedora.”

Ref:arxiv.org/abs/1103.4785: Can Anything From Noether’s Theorem Be Salvaged For Discrete Dynamical Systems?

Otro día os hablaré del modelo de Ising, porque es uno de los modelos en física estadística más bonitos y curiosos que hay. Si tenéis curiosidad en cacharrear un poco con el modelo de Ising, hace bastante tiempo en el foro discutimos el tema y se puso un programita en C para ver la evolución de sistemas tipo Ising. ¡No os lo perdáis! Y tampoco dejéis de leer el paper de Toffoli y Capobianco que son seis páginas de nada.

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  1. BloodStar dice:

    Aish en momentos como este me siento un ignorante :’(