Hay un pequeño matiz para que esto sea cierto, y es estar dentro de un fluido como es el aire. En el vacío no es cierto. Pero nosotros vivimos dentro de una atmósfera y por tanto no podemos escapar a los efectos que produce. La razón de que no importe demasiado la altura es la velocidad terminal o velocidad límite que se define como la velocidad máxima que adquiere un cuerpo al caer en el seno de un fluido infinito que se haya bajo la acción de un campo de fuerzas constante. En este caso, el fluido es el aire y la fuerza es la gravedad.
Nota: aunque el título del post es anecdótico, emulenews matiza acertadamente que "para un humano en caída libre, en posición horizontal, con las extremidades extendidas es aproximadamente 200 km/h” y que se alcanza tras recorrer unos 500 metros en unos 12 segundos, luego no da lo mismo caer del piso 10 o del 50 si cada planta tienes unos 3 m. de altura; lo mismo es mejor caer del 50". Teniendo en cuenta que son 500 metros, la analogía es poco afortunada. Así que dejémoslo en ¿es mejor caer desde lo alto del Burj Dubhai o desde un avión a 10000 metros de altura? O en su lugar, sí que podríamos decir que por ejemplo a un gato sí que le afecta poco.
¿Pero por qué es una velocidad máxima? La razón está en la fuerza viscosa que produce el aire, que es directamente proporcional a la velocidad a la que se desplaza el objeto y que depende a su vez de otros parámetros geométricos que determinan cuan aerodinámico es. Un ejemplo de este arrastre lo hallamos en algo que todos hemos experimentado: sacar la mano por la ventanilla del coche. Si ponemos la mano paralela al suelo apenas notamos que nos empuje el viento hacia atrás. Si acaso notamos una ligera fuerza de ascensión que es parecida a la de las alas de los aviones.
Pero si ponemos la mano perpendicular al suelo el aire nos la arrastrará con fuerza hacia atrás. Porque el área expuesta es mayor, en esa situación se es menos aerodinámico y por eso la fuerza de fricción tiene esto en cuenta. Y además, esta fuerza depende del cuadrado de la velocidad. Por eso cuanto más rápido va, mayor es la fuerza en contra.
En esencia podemos decir que la fuerza es 
En esto se basan los paracaidas. Al tener una mayor área de exposición al aire, esa fuerza es muy grande por lo que la velocidad límite es baja y se aterriza con seguridad. Si no recuerdo mal, se certifican para conseguir una velocidad terminal de 10 km/h para una persona de 75 kilos.
Entonces, según la segunda ley de Newton (la suma de fuerzas que intervienen es igual al producto de la masa por la aceleración), las fuerzas que intervienen en la caida son la suma de la fuerza de gravedad y la fuerza de fricción debida al aire. Y esto, debe ser igual a las masa por la aceleración. Entonces cabe preguntarnos si existe algún valor de velocidad para el cual la aceleración vale cero. Es decir, si existe algún valor de velocidad a partir del cual el cuerpo deja de acelerar y cae a esa velocidad el resto del tiempo. Y precisamente es como se define la velocidad terminal porque para que caiga con velocidad constante, la aceleración debe ser cero. Así, la suma de la fuerza de fricción y la de la gravedad, debe ser cero.
Y por eso da lo mismo caer de un piso décimo que de un piso cincuenta: llegaremos al suelo con más o menos la misma velocidad. Y no es la primera vez que veo un artículo periodístico que hace las cuentas sin tomar en consideración esta fuerza y acaba diciendo que impacta al suelo con velocidades astronómicas.