La publicación en Arxiv.org de un paper titulado Experimental tests of Pauli Exclusion Principle (arxiv.org/abs/0908.3795) es la excusa perfecta para hablar un poco sobre este principio fundamental de la mecánica cuántica y sin duda un pilar fundamental de la física atómica y molecular.

Fue enunciado en 1925 por Wolfgang Ernst Pauli y demostrado en 1940 por Pauli y Fiertz en el contexto de la teoría cuántica de campos.

Principio de exclusión de Pauli: No puede haber dos fermiones en el mismo estado cuántico individual

En otras palabras, si dos partículas son fermiones en el mismo sistema, deben estar en estados que se diferencien al menos en una característica. Los fermiones son aquellas partículas cuyo espín es semiimpar, es decir y siguen la estadística de Fermi-Dirac.

El principio de exclusión se puede deducir fácilmente basándose en la indistinguibilidad. Es un principio fundamental de la mecánica cuántica que afirma que dos partículas del mismo tipo son indistinguibles. Por ejemplo, si tomamos dos electrones y analizamos su evolución desde un estado A hasta un estado B, no podemos ponerle una etiqueta y llamarlo “Electrón 1″ y “Electrón 2″ en el estado A y recuperar esa información en el estado B. Lo único que sabemos es que hay dos electrones.

¿Qué consecuencia tiene esto? Pues matemáticamente viene a decirnos que si tenemos una función de estado donde su primera parte actúa sobre la partícula 1 y su segunda sobre la partícula 2, para que pueda representar un estado físico debe dar igual intercambiar los papeles de las dos partículas. Es decir, debe ser .

Donde es una constante que debe valer 1 cuando se hace el promedio. Se puede demostrar que esta constante C sólo puede valer +1 o -1. Esto hace que hay dos tipos de estados posibles:

entonces se dice que el estado es completamente simétrico frente a un intercambio de dos de sus partículas.
entonces se dice que el estado es completamente antisimétrico frente a un intercambio de dos de sus partículas.

Ahora llamemos A al estado de la partícula 1 y B al de la partícula 2. Según lo anterior, . Si la partícula 1 está en el estado A ¿puede estar la partícula 2 en un estado B = A? Veamos:

nos conduce a una identidad, el estado es igual a sí mismo. Es decir, en el caso de que el estado sea completamente simétrico no hay ningún inconveniente en que haya más de una partícula en el mismo estado. Estas partículas se llaman bosones.

nos conduce a una contradicción. La única manera de que una cantidad sea igual a si misma pero en negativo, es que dicha cantidad sea 0. Es decir, si el estado es completamente antisimétrico. Estas partículas se llaman fermiones.

Y sin más hemos llegado al principio de exclusión de Pauli. Si tomamos como cierto el principio de indistinguibilidad de las partículas, entonces aquellas cuya función de onda es completamente antisimétrica no pueden estar en el mismo estado. Lo cual conduce a formular el principio de exclusión que únicamente afecta a los fermiones.

El llamado teorema de conexión espín-estadística permite relacionar las partículas (según la simetría o antisimetría de sus estados) con la estadística que siguen a efectos de cálculo de probabilidades. Para los fermiones la estadística es la de Fermi-Dirac que permite contar la ocupación de los estados cuánticos en un sistema de fermiones. La expresión para estados no degenerados (es decir, que no tienen la misma energía) es:

Donde n es el número de fermiones en el estado i-ésimo con energía , es el potencial químico, es la temperatura y la constante de Boltzmann que vale . La gráfica de esta función es:

Como vemos se comporta como un escalón. Si la temperatura es pequeña, como la constante de Boltmann es muy pequeña y si entonces la exponencial del denominador se vuelve negativa, entonces tiende a valer . Por tanto, n vale 1. Tenemos que para energías más pequeñas que el número de fermiones en el estado i-ésimo es 1. Si la función vale 0, porque en ese caso la exponencial sería y . Por tanto, la probabilidad de que haya fermiones en un estado con energía mayor que el potencial químico tiende a 0. Cuanto menor es la temperatura, más apretado está el escalón con respecto al potencial químico. A medida que crece la temperatura, se va inclinando como se ve en las funciones roja y azul, para T = 293 K (20ºC) y T = 2000 K.

¿Qué implicaciones tiene para la naturaleza el principio de exclusión? Los protones, neutrones y electrones forman los átomos que constituyen la materia. Estas tres partículas tienen espín , es decir, son fermiones. Por tanto, obedecen al principio de exclusión de Pauli. Gracias a esto, los electrones llenan los orbitales de menor a mayor energía en vez de estar todos en el estado de menos energía (el estado fundamental) que es lo que más les gustaría. Pero como el principio de exclusión se lo prohibe, los estados se irán llenando desde el fundamental hasta los de mayor energía sucesivamente. Gracias a esto los átomos tienen esa estructura que podemos describir en buena aproximación con el modelo de capas. A los que hayan estudiado Física y Química en el Bachillerato les sonará el diagrama de la izquierda, que es la regla mnemotécnica para el llenado de los orbitales atómicos.

Más aún. Gracias al principio de exclusión pueden quedar capas semivacías en los átomos que permiten las reacciones químicas. Si los electrones fueran bosones el universo sería una aburrida sopa de plasma fría con todos los átomos en su estado fundamental y sin que nunca se hubieran llegado a formar moléculas complejas. Por suerte no es así y aquí estamos para contarlo. Gracias a que los bosones pueden estar todos en el mismo estado, existe la condensación de Bose-Einstein .

Quiero mencionar como anécdota otro de los casos donde el principio de exclusión tiene un papel fundamental: el colapso de las estrellas. Como ya conté en el artículo de las supernovas, existen muchas vías que puede seguir una estrella al colapsar en función de su gravedad. Una de ellas es la que conduce a formar estrellas de neutrones. Cuando la estrella colapsa la densidad aumenta muchísimo. Si es muy grande, entonces forma un agujero negro. Si no, la densidad será tan inmensa (mayor de que los átomos serán incapaces de mantener su estructura. Los protones se aniquilan con los electrones dando lugar a neutrones y mantienen su estructura debido a la “presión de degeneración” por el principio de exclusión. Se dice entonces que la materia se encuentra degenerada.

Por último, sobre lo que dice el paper del que hablé en el párrafo inicial. El autor A.S. Barabash ha estado diez años trabajando en pruebas experimentales sobre este principio. En el primer trabajo, se buscaban átomos de carbono anómalos y se determinó los límites permitidos para su existencia, llegándose a que hay 1 átomo de carbono anómalo por cada billón de átomos de carbono corrientes. En el segundo trabajo se probó con el detector NEMO-2 para analizar límites en la violación del principio de exclusión en átomos en su capa “p”. Posteriormente se asumió que los neutrinos violaban el principio y seguían la estadística de Bose-Einstein. En particular, se consideró en la desintegración beta doble. Esta violación cambiaría radicalmente las tasas de desintegración y modificaría la energía y la distribución angular de los electrones emitidos. Se demostró que estos “neutrinos bosónicos” no pueden existir según los datos experimentales, aunque se repetirán estos experimentos en el futuro con mayor sensibilidad.