votar
Comentarios desactivados

Antes de responder al título, hagamos un paso previo. Imagina que tienes un número infinito de pares de calcetines y te planteo que saques un calcetín de cada par y los metas todos en una caja, que supongamos infinita también. Para hacer esto hace falta  el axioma de elección.

Este axioma campa oculto en las sombras de la teoría de conjuntos y se acepta en multitud de ocasiones de forma implícita porque no hacerlo supone dar un vuelco a los planteamientos. Pero lo maravilloso de las matemáticas es que no pasa nada si no te crees un axioma, simplemente, obtienes unas matemáticas diferentes, con sus reglas y sus peculiaridades, pero no menos correcta.

Pero volvamos a los calcetines. Digo, al axioma de elección. Afirma lo siguiente:

Sea X un conjunto de conjuntos no vacíos. Entonces, es posible tomar un único elemento de cada conjunto de X.

Nuestra lógica cotidiana nos asalta. Un momento, ¡pues claro que puedo coger un calcetín de cada par! Pero eh, amigo, esto son Matemáticas. Que le den al mundo real, las Matemáticas están por encima de eso.

Precisamente, el hecho de que parezca tan intuitivo que efectivamente es posible hacer. Pero claro, nosotros estamos acostumbrados a trabajar con un conjunto finito de pares de calcetines. Si es infinito, razonamos que por inducción se puede, pero no es evidente. La experiencia cotidiana con los calcetines sugiere que el axioma es razonable de emplear, pero es un axioma porque hay que postularlo, no es deducible.  Principalmente porque los calcetines son idénticos entre sí y no hay un hecho que los diferencie. Y como decía antes, si no aceptas este axioma no pasa nada, simplemente obtienes otro tipo de matemáticas.

Esto se puede generalizar no solo para calcetines. Si X es un conjunto finito entonces no hace falta hacer uso del axioma porque de forma evidente puedes escoger un elemento de cada uno de los subconjuntos que forman a X sin más que definir la manera que eliges de escoger los elementos. Por ejemplo, si llamamos \cup X_{n} = X a cada uno de los n subconjuntos que forman X entonces, bastará con elegir el primer elemento del primer conjunto, el segundo del segundo, así sucesivamente.

Es posible en efecto elegir un elemento de cada conjunto y ponerlos en uno nuevo. Si el conjunto X es infinito pero es numerable también lo podemos hacer. Con zapatos por ejemplo, podemos llamar 1 al izquierdo y 2 al derecho y listo. Pero no hay calcetín izquierdo y calcetín derecho.

Si por el contrario el conjunto es infinito pero no numerable, entonces puede ocurrir que no tengas un método evidente de elegir un elemento de cada subconjunto porque puede que el método de elección nunca termine en caso de empezar.

Decía Bertrand Russell al respecto de este axioma que seleccionar un calcetín de cada uno de infinitos pares de calcetines requiere el Axioma de Elección, pero para zapatos el axioma no se necesita.

Dado que no hay calcetín izquierdo y calcetín derecho y ambos son indistinguibles no hay una forma evidente de elegir un calcetín frente a otro. Cosa que no pasa con los zapatos.

Una consecuencia que me encanta del axioma de elección es la paradoja de Banach-Tarski según la cual considerando una esfera de radio unidad, o dicho en matemáticas

B = \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} : x^{2} + y^{2} + z^{2} \le 1 \},

puedes dividir la esfer a B en partes iguales y mediante rotaciones y traslaciones puedes juntarlo de nuevo formando dos esferas completas. ¡Toma ya! ¡Eso sí que no me lo trago!

Pues según los chicos de XKCD esto es excelente sobre todo en Halloween:

Incluso hay a quién se le ha ocurrido aprovecharse de esto para forrarse, literalmente:

Bueno, bromas aparte. Lo que dice el teorema de Banach-Tarski es que puedes dividir la esfera de radio unidad en ocho partes disjuntas dos a dos (vamos, sin partes en común), y mediante una serie de movimientos apropiados construyes una esfera con cinco trozos y otra con los otros tres.

Se le llama paradoja precisamente porque lo que sugiere es ¡sí hombre, voy yo y me lo creo!

¿En qué está relacionado con el axioma de elección? Pues que para conseguir este truco necesitas hacer un conjunto no numerable de elecciones para elegir apropiadamente las porciones de esfera y los movimientos de recomposición.

En este enlace de la universidad de Vanderbilt tratan este tema de forma más exhaustiva y aportan mucha bibliografía además. Por cierto, esta entrada se me ocurrió tras leer esta otra de Eliatron y bromear en Twitter sobre ello. Así que leedle.

PD: Esta entrada participa en la la Edición 2.6 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog La Vaca Esférica.


Si te ha gustado este artículo, considera votar el blog en los

Votar en los Premios Bitacoras.com

¡Muchas gracias!

Share

Trackbacks/Pingbacks a esta entrada: