El gran libro de los números aleatorios

¿Es posible generar números aleatorios? ¿Es posible realizar un experimento totalmente impredecible en el mundo real? Esta y otras preguntas pretendo responder en esta entrada para el 1^er Carnaval de Matemáticas.

Dentro del estudio de la estadística y la probabilidad, se define como  aleatorio aquel resultado que es impredecible o fruto del azar. No es posible llegar hasta él siguiendo una secuencia. Matemáticamente hablando, el azar, la lo aleatorio se estudia en Estadística y Probabilidad.

Existen numerosas situaciones cotidianas en las que interviene el azar. Tenemos que distinguir en este punto que hay varios tipos de azar. Es decir, el desconocimiento absoluto del resultado y el azar en un sistema determinista que involucra tantas variables que al final, el resultado es impredecible.

Por ejemplo: teóricamente sería posible que al tirar un dado físico pudiéramos evaluar todas las condiciones y predecir el resultado. Pero en la práctica intervienen tantos factores: forma, peso, densidad, el fluido del aire, turbulencias, la fuerza de la gravedad, etcétera que podemos considerar como azar el hecho de tirar un dado y ver qué resultado se obtiene.

El número de veces que ocurre un suceso con respecto al número de veces que se realiza el experimento tiende a lo que llamamos “probabilidad”. Es decir: conforme el número de repeticiones del experimento tiende a infinito, la frecuencia con la que ocurre el suceso tiende a un valor que llamamos probabilidad. Por ejemplo, la probabilidad de que al tirar un dado de seis caras salga una cualquiera es la misma y vale .

Si realizamos millones de veces el experimento veremos como el número de veces que obtenemos un valor determinado se va aproximando a esto. Podemos asignar a priori cuánto vale la probabilidad porque conocemos de antemano el espectro de valores posibles que puede tener el experimento.

Generar números aleatorios

Hoy en día existen métodos numéricos que, si bien no nos pueden dar números aleatorios realmente, sí que pueden conseguir una pseudoaleatoriedad bastante buena en el sentido de que es difícil poder predecir la secuencia de generación. Los algoritmos de números aleatorios normalmente empiezan con un valor inicial o semilla al que se le aplican una serie de cálculos más o menos complejos dependiendo del grado de azar deseado y llegamos a un resultado. El número no es aleatorio puramente pero si el algoritmo es lo bastante bueno, puede parecerse a lo que buscamos: el ruido.

Asociamos intuitivamente “ruido” a un sonido  que no sigue ningún ritmo en particular, que varía en intensidad y frecuencia, etcétera. Justamente una señal aleatoria. Cuando encendemos un televisor analógico y escaneamos la banda de UHF, la nieve es ruido. No existe  una secuencia predecible en él.

En un ordenador no podemos aspirar a tener un número aleatorio salvo que la semilla del algoritmo ya lo sea. Podemos describir una secuencia pseudoaleatoria que nos lleve a conseguir un conjunto de números aleatorios.  Está claro que hoy en día con los ordenadores modernos y su potencia de cálculo es más fácil conseguir números pseudoaleatorios. Pero antes no lo era tanto.

“A Million Random Digits with 100,000 Normal Deviates” es un curioso libro publicado en 1955. Parece el típico libro de tablas que tiene la gente especializada en un campo para ayudarle en su tarea. Y aunque el uso de tablas matemáticas es muy habitual, su creación puede ser el trabajo de toda una vida. No sería una exageración decir que muchas vidas se han perdido por culpa de tablas con errores de cálculo. No fue el primero, ya en 1927 la Cambridge University publicó un libro con 41600 dígitos aleatorios.

Durante el siglo XIX, la producción de tablas matemáticas era fundamental para cualquier trabajo científico y la dependencia de éstas era crucial. Mucha gente dedicaba su vida entera a hacer este tipo de tablas. A menudo, las tablas publicadas en siglos pasados iban siendo revisadas con sucesivos añadidos. Algo que cualquier calculadora cutre de hoy en día hace, lleva detrás el sufrimiento y quebraderos de cabeza de muchos matemáticos a lo largo de la historia.

Como ya he dicho antes, se intentaban conseguir listas de todo tipo y, entre ellas y por sorprendente que parezca, de números aleatorios. En este libro, las primeras 25 páginas muestran el método de obtención de los números y el resto es una lista de un millón de números generados con este procedimiento.

El método básicamente consiste en una especie de ruleta electrónica cuya “semilla” era una señal aleatoria de ruido. Los dígitos son dispuestos en una manera particular y codificados en tarjetas perforadas de IBM. Entonces, se hacían pasar por un ordenador y los resultados eran analizados para comprobar que realmente no tenían ningún patrón reconocible. El resultado fue publicado siguiendo el modelo 856 de IBM y encuadernado en forma de libro.

El quid de la cuestión está en la señal pulsante de frecuencia aleatoria que alimenta al sistema como semilla. De hecho, cualquier sistema generador de ruido serviría y en los años 40 era común utilizar una válvula termoiónica (parecida a un tiratrón) para este tipo de experimentos.

Utilizar este libro conllevaba un ritual muy curioso: abrir el libro por una página cualquiera. A ciegas elige un número de 5 cifras. Este número reducido a módulo 2 determina la línea de comienzo y los dos dígitos a la derecha, determinan la columna. Y además, toda una serie de consejos para evitar acabar abriendo siempre el libro por las mismas páginas. A la izquierda de estas palabras, se encuentra un extracto del libro.

En los ordenadores UNIX existe un dispositivo llamado /dev/random que usa el ruido aleatorio de su entorno para generar números. También tenemos por ejemplo http://random.org donde podemos generar los que queramos.  Mucho más asequible sin duda.

Más información:

• A Million Random Digits with 100,000 Normal Deviates, en Rand.org.
• Artículo sobre el libro en Wikipedia.

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