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Cuando estudiamos en el colegio la propiedad conmutativa del producto o de la suma nos metieron a fuego la famosa expresión “el orden de los factores no altera el producto” que luego ha pasado a ser parte de la cultura popular y que se utiliza en muchos contextos alejados de la ciencia. La intención de esta entrada que corresponde a mi participación en el Segundo Carnaval de Matemáticas alojado en esta ocasión en el blog de Juan de Mairena [v.2.71828].

Sea “\ast” una operación entre dos elementos “a” y “b” pertenecientes a un conjunto “\mathfrak{M}” en el que se puede definir dicha operación, entonces diremos que la operación es conmutativa cuando a \ast b = b \ast a. Se puede escribir que si a \ast b - b \ast a = 0 entonces es conmutativo, y si no es igual a cero, no lo es. A veces se omite el signo \ast y se sobreentiende de qué operación se trata según el contexto (normalmente es el producto o la composición).

Si la operación \ast es la suma y el conjunto \mathfrak{M} son los números naturales, tenemos la conmutatividad de la suma a la que estamos acostumbrados. De la misma manera, si la operación \ast es el producto y el conjunto \mathfrak{M} son los números enteros (naturales positivos, negativos y el cero) entonces tenemos la conmutatividad del producto.

Algunos ejemplos dentro de las matemáticas. Aparte de la resta y la división que ya sabemos que no son conmutativas, tenemos por ejemplo que si la suma es de infinitos elementos no tiene por qué ser conmutativa.

Por ejemplo:

1 + 1 - 1 + 1 - 1 + \cdots \leq 2,

mientras que

1 - 1 + 1 - 1 + 1 - \cdots \leq 1 (sumación de Cesàro o serie de Grandi).

El producto de matrices no es conmutativo tampoco.

Ejemplos en la vida cotidiana de no conmutatividad podemos encontrarnos por todas partes. Por ejemplo al dar indicaciones en la calle. No es lo mismo: gira a la derecha, luego a la izquierda, luego a la derecha que gira a la derecha, gira a la derecha y luego a la izquierda (recordemos que hablamos de operaciones binarias, entre dos elementos). Si habéis probado a resolver un cubo de Rubik antes de arrancar las pegatinas para volverlo a colocar o dejarlo abandonado sumidos en una inmensa frustración, sabréis que las rotaciones de sus coronas no son conmutativas.

Cualquier persona que haya intentado alguna vez cocinar algo sabe que las recetas de cocina, en general, no son conmutativas y que el resultado de cascar un huevo y echarlo a la sartén suele ser diferente de echar el huevo a la sartén y luego cascarlo. Del mismo modo, nuestra integridad nos agradecerá con muchos años de vida si evitamos confundir el esperar a que el semáforo esté en verde y cruzar, que cruzar y esperar a que el semáforo se ponga en verde. Y ejemplos menos peligrosos: lavar la ropa y luego plancharla. Tirar de la cadena después de hacer pis. Lavarse los dientes después de comer. Abrir la puerta antes de entrar.

El campo de la ciencia donde la no conmutatividad es fundamental es en la mecánica cuántica, en la que los operadores no son conmutativos. Y este hecho es tan importante que da lugar al principio de incertidumbre. Es importante señalar esto porque en contra de lo que mucha gente cree, el principio de incertidumbre de Heisenberg nace como un resultado teórico. Heisenberg quería formular la mecánica cuántica usando matrices, y las matrices no conmutan.

De hecho se definen los conmutadores [A, B] = AB - BA y en el caso del principio de incertidumbre se define usualmente con la posición \hat x y el momento \hat p. Se suele decir

No se puede medir simultáneamente y con infinita precisión la posición y el momento de una partícula.

Normalmente se suele encontrar escrito como que el error en la posición (\Delta x) y el error en el momento (\Delta p) debe ser mayor que la constante de Planck dividida por 2: \Delta x \cdot \Delta p \ge \hbar / 2

Esto se escribe en un conmutador como [\hat x, \hat p] = i\hbar y sirve como definición para cualquier par de variables canónicas conjugadas entre sí. Esto no ocurre en la Física Clásica, en la que las magnitudes observables  conmutan entre sí.

Más variables conjugadas son Energía y Tiempo, Tiempo y Frecuencia, Ángulo y Momento Angular… De la relación entre energía y tiempo surge el principio de incertidumbre en la versión que explica y permite la existencia de partículas virtuales. \Delta E \cdot \Delta t \ge \hbar / 2. Se puede “robar” una cierta cantidad de energía E siempre que se devuelva en un tiempo tal que se cumpla la relación anterior. Y si el tiempo pasa y no se ha devuelto alguien debe pagar la deuda energética (véase Radiación de Hawking).

Como vemos, la no conmutatividad es más común de lo que parece. Así que ya sabéis. La próxima vez que os digan que el orden de los factores no altera el producto, avisad al incauto de que tenga cuidado cuando quiera cruzar la calle o freir un huevo.

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Trackbacks/Pingbacks a esta entrada:
  1. MiGUi dice:

    He corregido -gracias raska- la suma 1+1-1 … < 2 en vez de infinito, es una serie no convergente oscilante, no es divergente.

  2. Interesante post, enhorabuena.

    Veo un par de detalles que considero erróneos, aunque puede que lo haga por mi ignorancia. El primero es que el producto es conmutativo entre números complejos, no sólamente enteros, ni siquiera reales. Ídem para la suma, a menos que me haya perdido algo.

    El segundo punto es que en realidad las sumas infinitas que propones no “contradicen” la propiedad conmutativa de la suma. En ambas el “menor que” debería ser “menor o igual que”, ya que el resultado de la primera serie es “o bien 2, o bien 1″, y el de la segunda “o bien 0, o bien 1″. Vemos que admitir “1″ como respuesta a ambas series supondría aceptar la propiedad conmutativa. O al revés: asumir propiedad conmutativa lleva al necesario resultado de “1″ para ambas series.

    • MiGUi dice:

      El producto es conmutativo entre complejos, es cierto, pero como estaba hablando de conjuntos no quise meterme con estructuras algebráicas superiores aunque los enteros sean un anillo.

      Sobre la desigualdad, tienes razón, es \leq en vez de < :)

      Realmente, están acotadas en valor absoluto por 1 y por 2.

  3. malambo dice:

    El tiempo es un c – number no un operador.

  4. emulenews dice:

    Hablando de lo no conmutativo también podríamos considerar lo no asociativo, es decir, a+b+c se debe interpretar como (a+b)+c pero no como a+(b+c) que daría un valor diferente en dicho caso (p.ej. los octoniones forman un álgebra de división no asociativa), las series que presentas darían
    1+1-1+1-1+… = (… (((1+1)-1)+1)-…) = {1,2} oscila entre 1 y 2
    1-1+1-1+1-… = (… (((1-1)+1)-1)+…) = {0,1} oscila entre 0 y 1

  5. Nissan dice:

    La discusion que haces en el segundo parrafo no es adecuada matematicamente hablando. Dices que partes de un conjunto M con una operacion * pero posteriormente haces uso implicito de otra operacion “+” (al escribir a*b-b*a=0)que no tiene por que existir y que desde luego no has incluido en los supuestos iniciales y ni siquiera has definido. Si se cumplen ciertas condiciones, basicamente estas partiendo de q M tiene la estructura de anillo.

    • MiGUi dice:

      No es una discusión matemática, ni un tratado ni un paper, es una mención de pasada en un texto divulgativo que no puede entrar en demasiados detalles porque no es la finalidad del mismo.

      Gracias por tus correcciones.