La belleza del caos

Existe mucha mitología -por decirlo de alguna manera- construida alrededor del término “caos” que se observa en muchas ecuaciones de la física y las matemáticas. Y es capaz de mostrarnos imágenes tan bellas como esta:

La palabra caos la define la RAE como:

caos.

(Del lat. chaos, y este del gr. abertura).

1. m. Estado amorfo e indefinido que se supone anterior a la ordenación del cosmos.

2. m. Confusión, desorden.

3. m. Fís. y Mat. Comportamiento aparentemente errático e impredecible de algunos sistemas dinámicos, aunque su formulación matemática sea en principio determinista.

A primera vista puede sorprendernos que el caos pueda venir de un sistema determinista. Es decir, que conociendo perfectamente el sistema y las condiciones éste acabe derivando en un régimen caótico. Puede valernos como definición inicial.

De un sistema dinámico (es decir, aquel en el que se produce una evolución en el tiempo que lo lleva a una configuración diferente) nos interesa conocer cómo se va a comportar a largo plazo y también si el hecho de cambiar ligeramente la configuración inicial va a provocar grandes cambios en su futuro o por el contrario, llegará en cualquier caso a una situación estacionaria.

Un ejemplo de sistema que evoluciona hasta un estado estacionario sería una rueda que se mueve por un plano con rozamiento. Eventualmente la rueda irá frenándose y sabemos que cuando la rueda acabará deteniéndose. Y realmente da un poco igual que la velocidad inicial sea un poco mayor o menor, influirá en el hecho de que la distancia recorrida sea más grande o más pequeña, pero en esencia ésta variación será pequeña. La rueda alcanza un régimen estacionario y por tanto estamos en un sistema no caótico.

Imaginemos ese mismo ejemplo pero ahora a la derecha de la rueda hay una pendiente hacia abajo mientras que a la derecha sigue habiendo un plano. En este caso, una pequeña variación en la posición puede provocar que la situación final sea completamente distinta: si la rueda se mueve ligeramente de su posición original hacia la izquierda, caerá por la cuesta. Mientras que si se mueve ligeramente de su posición inicial a la derecha, volveremos grosso modo al ejemplo del párrafo anterior. Aquí tenemos un ejemplo de un sistema no estable: una variación de las condiciones iniciales nos ha conducido a dos situaciones bien diferenciadas. Sería un ejemplo de sistema metaestable (como de esto ya hablé largo y tendido en esta entrada no me detengo más).

Siendo rigurosos, para que un sistema dinámico sea caótico se exige que:

• sea sensible a variaciones en las condiciones iniciales
• sea una mezcla topológica
• sus órbitas periódicas sean densas

El primer punto es, en esencia, el efecto mariposa. Variando ligeramente las condiciones iniciales se producen variaciones drásticas conforme el sistema evoluciona hasta el punto de no saber qué va a ocurrir entre que el sistema empieza a variar hasta que alcanza un estado estacionario. Es distinto del ejemplo de sistema metaestable en el que podemos acotar la evolución del sistema entre uno o más estados finales.

Que sea mezcla topológica significa a grandes rasgos que el sistema evoluciona de forma tal que cualquier parte que elijamos de él estará mezclada. Por ejemplo: juntamos pintura roja con pintura verde y mezclamos para dar pintura marrón. Transcurrido un cierto tiempo da igual el trozo que elijamos no quedará rastro ni de rojo ni de verde. Cabe aclarar que aunque en este ejemplo podemos predecir el resultado final, realmente desconocemos la dinámica intermedia porque es caótico.

Para el tercer requisito nos hace falta el concepto de atractor. Las órbitas cerradas no tienen necesariamente que corresponder con órbitas en el espacio tridimensional. Por ejemplo, un oscilador como el de la izquierda es una órbita periódica cerrada en el espacio posición-velocidad.

Si en nuestro sistema existe no una, sino muchas órbitas periódicas y además están muy próximas porque al haber pequeñas variaciones cambian un poco pero no demasiado, tenemos lo que queremos: el comportamiento de atractor. Intuitivamente, le llamamos atractor porque parece atraer hacia sí las órbitas al igual que el Sol hace con los planetas.

El ejemplo más típico de atractor es el Atractor de Lorenz. Aparece en la física del láser y en otros casos, ya que se trata de un sistema de ecuaciones diferenciales bastante común. En este flash podéis verlo en acción.

Con estos tres requisitos tenemos un sistema caótico.

La imagen que abre este post pertenece a un péndulo doble. En el péndulo simple tenemos una cuerda (idealmente sin masa) atada a un punto y en cuyo extremo hay una masa que se hace oscilar. En el péndulo doble, la propia cuerda tiene masa y a su extremo hay otra masa que oscila. Con lo cual, el comportamiento final se puede ver en acción con la animación de la izquierda.

Como vemos, la trayectoria dibujada por el extremo reproduce la imagen inicial.

Se me ocurrió la idea de escribir esta entrada gracias a un post del foro sobre el péndulo doble. Más información en Chaos Theory en Crystalinks. Además, en Math Art existen numerosas imágenes generadas a partir de atractores o sistemas caóticos.

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