La imagen más aproximada al conjunto de Mandelbrot en 3D

Parece tejido a punto de cruz por manos expertas, pero los autores de la imagen la llaman “Mandelbulb”, es la representación tridimensional más precisa hasta la fecha de la ecuación fractal más famosa: el conjunto de Mandelbrot.

Las figuras fractales son generadas mediante un proceso iterativo: aplicas una ecuación a un número, aplicas la misma al resultado y repites el proceso una y otra vez. Cuando el resultado se traslada a una forma geométrica, puede producir una imagen “auto-similar”, formas que contienen la misma forma a diferentes escalas; por ejemplo, algunas parecen copos de nieve. La parte complicada es encontrar la ecuación que produzca una imagen interesante.

La ecuación fractal más famosa es la del conjunto de Mandelbrot, llamada así por Benoît Mandelbrot, matemático de la University of Yale, que acuñó el término “fractal” para estas formas resultantes en 1975.

Pero hay muchos otros tipos de fractales, tanto en dos como en tres dimensiones. La esponja de Menger es uno de los ejemplos tridimensionales más sencillos.

Fractales de mentira

Han habido intentos anteriores de construir una imagen 3D del conjunto de Mandelbrot, pero no mostraban un comportamiento fractal real, dice Daniel White, un constructor amateur de imágenes fractales en Bedford, Reino Unido.

Rotar el fractal de Mandelbrot 2D como un tronco en un torno, subir y bajar ciertos puntos, o invocar matemáticas de mayores dimensiones pueden producir aparentes conjuntos 3D de Mandelbrot. Aunque ninguna de estas técnicas ofrece el detalle y la forma autosimilar que White cree representa una imagen de un fractal real.

Hace dos años, decidió encontrar una versión verdadera del fractal de Mandelbrot.

La próxima dimensión

Intentaba ver cómo funcionaba el conjunto de Mandelbrot 2D original para traducirlo a la tercera dimensión.

afirma.

Puedes emplear matemáticas complejas, pero también puedes observarlo geométricamente.

Este procedimiento funciona gracias a las propiedades del “plano complejo”, un paisaje matemático en el que los números ordinarios van del “este” al “oeste” mientras que los imaginarios, basados en la raíz cuadrada de -1, van del “sur” al “norte”. Multiplicar números en el plano complejo es lo mismo que rotarlos, y sumar es como cambiar el plano en una dirección particular.

Para crear el conjunto de Mandelbrot, basta con repetir estas acciones geométricas para cada punto del plano. Algunos ascenderán como un globo hasta el infinito, escapando del grupo por completo, mientras que otros se hundirán hasta cero. Los diferentes colores en una imagen típica reflejan el número de iteraciones antes de que cada punto llegue a cero.

White pensó si llevando a cabo las mismas rotaciones y cambios en un espacio tridimensional podría recoger la esencia del conjunto de Mandelbrot sin usar números complejos – números reales y números imaginarios – lo cual no aplica en 3D porque únicamente hay dos ejes. En Noviembre de 2007, White publicó una fórmula para una figura que resultó ser muy parecida.

Mayor potencia

La fórmula publicada por White obtuvo grandes resultados, pero todavía fallaba en el detalle fractal. Colaborando con los miembros de Fractal Forums, una web para fans de los fractales continuó con su investigación. Fue otro miembro,  Paul Nylander, quien se dió cuenta de que elevando la fórmula de White a mayores potencias (lo cual equivale a aumentar el número de rotaciones) podría conseguir lo que buscaban.

La búsqueda de White no ha finalizado aún. Admite que el Mandelbulb no es exactamente el Mandelbrot 3D “real”:

Existen algunas secciones difusas, donde no hay detalle. Si realmente no existe (y no afirmo al 100% que exista) uno esperaría mayor variedad de la que estamos viendo actualmente.

Una parte del problema es que extender a 3D el conjunto de Mandelbrot requiere muchas elecciones subjetivas que cambian el resultado. Por ejemplo, puedes extender un plano 3D convirtiéndolo en un cubo, pero también en una esfera.

Es un ejercicio académico interesante pensar qué deberías obtener, pero todo depende en qué propiedades desees mantener en la tercera dimensión.

afirma Martin Turner, un informático científico especializado en imágenes fractales, de la University of Manchester, Reino Unido.

Las ecuaciones de White quizás hayan dado resultado, pero el tipo de álgebra empleado no es aplicable a todas las matemáticas en 3 dimensiones.

El siguiente paso es la rigurosidad matemática.

Traducción libre de The Mandelbulb: first ‘true’ 3D image of famous fractal publicado en New Scientist.

Galería de imágenes:  The unravelling of the Real 3D Mandelbrot fractal.

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