Sea pi igual a tres

Publicado el Martes, 20 de octubre de 2009 por MiGUi en Matemáticas
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En una broma para que la sección de Noticias del foro pusimos algunas ideas descabelladas para hacerla más divertida. Como suele ocurrir en el foro, siempre hay buenas ocurrencias. Como por ejemplo la que encabeza el problema que propone gm y que cito a continuación:

“He estado pensando en esta Noticia del foro: “Desde este momento, tres es igual a pi” y me ha venido a la cabeza algo ineresante: en geometría elemental es usual definir \pi como el cociente entre el perímetro p de un círculo y su diámetro:

\pi = \displaystyle\frac{p}{d}.

Este cociente es independiente del radio del círculo, así que tomando un círculo de radio 1 tenemos que

\pi = \displaystyle\frac{p(S_1)}{d(S_1)}

siendo p(S_1), d(S_1) el perímetro y el diámetro, respectivamente, d

S_1=\Big\lbrace(x,y)\in\mathbb{R}^2\,\Big\vert\,\big\lVert (x,y)\big\rVert = 1\Big\rbrace.

Ahora viene lo interesante: cambiemos la norma en \mathbb{R}^2 y preguntémosnos ¿qué efecto tiene esto sobre  nuestro \pi arriba definido?

Por ejemplo, podríamos pensar en las p-normas

\big\lVert (x,y)\big\rVert_1=|x|+|y|. \big\lVert (x,y)\big\rVert_p =\big(|x|^p+|y|^p\big)^\frac{1}{p},\quad\text{siendo } p\text{ un real mayor que }1 \big\lVert (x,y)\big\rVert_\infty =\max \big\lbrace |x|,|y|\big\rbrace.

tendríamos entonces

S_{1,p}=\Big\lbrace(x,y)\in\mathbb{R}^2\,\Big\vert\,\big\lVert (x,y)\big\rVert_p = 1\Big\rbrace.

y

\pi_p=\displaystyle\frac{p(S_{1,p})}{d(S_{1,p})}

Obviamente, \pi_2 coincide con el \pi de toda la vida, pero ahora, por ejemplo,

\pi_1 = 4

y

\pi_\infty = 2

Inmediatamente surge la pregunta: ¿hay algún valor de p para el cuál \pi_p=3? O, un poco más general, ¿existe alguna norma sobre \mathbb{R}^2 para la cual el cociente entre el diámetro de
 S_1 y su perímetro (claro, según la nueva norma) es 3? Os lo dejo para que lo penséis.”

El desarrollo del hilo lo podéis ver aquí. No tiene desperdicio, en especial la respuesta de mat y  Smaigol. Es la primera vez que traigo al blog un post del foro, que pertenece a sus autores obviamente a los que cito en el cuerpo de este mensaje. Lo he querido poner aquí porque creo que merece la pena echarle un vistazo. La conclusión final es que… Bueno, mejor mirad el hilo.

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  • Pi entre 3 y 4 | Cexixim:

    [...] modo más serio se preguntan en esta liga, si en otros espacios distintos al que manejamos, pero matemátticos al fin, se puede tener pi [...]