¿Son perfectas e inmutables las Matemáticas?

Publicado el Lunes, 14 de abril de 2008 por MiGUi en Matemáticas
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Siempre fue perseguida la idea de alcanzar la perfección. Para Platón, las Matemáticas -más concretamente, la geometría- era signo de perfección divina y de hecho, su visión del mundo era tal que ponía lo matemático como perfecto y el mundo como aproximación a las Matemáticas. Aunque hoy en día se tiende a una visión más aristotélica, es decir, considerar que el mundo es perfecto y las Matemáticas permiten aproximarnos a él.

 

Esta fe (y ciertamente podemos llamarla así) ciega en la perfección e inmutabilidad de las Matemáticas llevó a un cierto clima de presunción y hasta cierto punto, de prepotencia al pensar que eran definitivas e irrevocables. Siempre hubo no obstante preguntas acerca de esta visión tan pura y dogmática de las Matemáticas. ¿Hasta qué punto era así? ¿Eran realmente completas y definitivas las teorías matemáticas? ¿Existían las teorías exentas de contradicciones? ¿Eran los postulados y/o axiomas demostrables dentro de la propia teoría?

 

Este problema, más de Lógica que de Matemática en sí, venía implícito desde la misma formalización de las Matemáticas. Se puede resumir en dar respuesta a esta pregunta:

 

¿Son las Matemáticas completas o por el contrario hay axiomas y postulados indemostrables?

 

Recordemos que los axiomas son afirmaciones evidentes por sí mismas. De tal manera que se aceptan como válidas sin necesidad de demostrarlas. Pero ¿hasta qué punto es esto lícito? ¿Podemos intentar construir una teoría sin realizar ciertas asunciones previas? Más aún ¿podemos demostrar los axiomas desde la propia teoría sin perder la consistencia?

 

En todo este entuerto hay dos conceptos fundamentales a distinguir: completitud y consistencia. Desde un punto de vista matemático, completo significa que no quedan partes ambiguas ni postulados y axiomas indemostrables y consistente, que no se llega a contradicciones lógicas al seguir las reglas de la propia teoría.

 

Lo que se desea es conseguir un sistema lógico que sea completo y consistente. Porque de esta manera la descripción será como deseaba Platón: perfecta e inmutable.

 

A demostrar la completitud de las Matemáticas dedicó su vida un genio llamado Kurt Gödel en el siglo XX. Y ciertamente fue un genio pese a que no trascendiera fuera de los círculos académicos aunque era muy peculiar. Sufría un trastorno obsesivo compulsivo. Temía desde ser espiado por el Gobierno a ser envenenado por los gases tóxicos que supuestamente emanaban del frigorífico. Toda su vida sufrió de paranoia y estuvo ingresado en instituciones sanitarias por este motivo en varios periodos. Era uno de los mejores amigos de Einstein y de hecho, Einstein  admiraba a Gödel como matemático. Se conocieron en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton.

A Einstein se le atribuye la frase

Si voy a mi oficina es únicamente para tener el privilegio de volver luego a casa paseando con Gödel.

Pues bien, Gödel trabajó toda su vida en intentar demostrar que las Matemáticas eran completas. Sin embargo, demostró todo lo contrario y por eso se le conoce hoy en día. Gödel enunció los dos teoremas que hoy se conocen como Teoremas de Incompletitud de Gödel y que dicen lo siguiente:

 

{xtypo_rounded2}En un sistema de axiomas lo bastante fuerte como para definir en ellos el concepto de números naturales se tiene que:

  1. Si el sistema es consistente no puede ser completo o viceversa.
  2. Existen axiomas que no se pueden demostrar ni refutar.

{/xtypo_rounded2}

 

Este teorema cayó como un jarro de agua fría sobre la Lógica y las Matemáticas en plena mitad del siglo XX. El resultado era lo que nadie deseaba. De hecho, el propio Gödel había dedicado toda su vida a demostrar que las Matemáticas eran completas y consistentes. Para él esto supuso un trauma importante.

 

El teorema afirma que dado un conjunto de axiomas minimamente complejo, si es consistente no puede ser completo y viceversa. Es decir, que si en el sistema no tenemos contradicciones, por fuerza van a existir axiomas y/o postulados que nunca podrán ser demostrados por la propia teoría. Y recíprocamente, si tenemos un sistema completo, de modo que no existen axiomas indemostrables, entonces se llega a contradicciones lógicas lo cual tira por tierra con la validez práctica del sistema.

 

Hay que insistir, no obstante en que este teorema no redujo de manera significativa el potencial de las Matemáticas ni significa que no sean seguras o fiables. Simplemente demuestra que las Matemáticas son limitadas y que no podemos aspirar a una visión perfecta e inmutable.

 

Así, axiomas como el axioma de la elección, la hipótesis del continuo o el Quinto Postulado de Euclides (de los que hablaré próximamente) pasaron a formar parte del selecto club de las proposiciones que, si se aceptan conducen a un mundo distinto a si no se aceptan pero curiosamente, ambos son consistentes aunque incompletos. Fundamentales o no, están ahí y no se pueden ignorar.

 

Porque siempre es preferible admitir ciertas hipótesis de partida y luego verificarlas de algún modo a tener inconsistencias que derriben la lógica del modelo. En este sentido, las ciencias experimentales como la Física cuentan con la ventaja de que la Naturaleza es quien se encarga de juzgar. Pero en las Matemáticas, no existe otro juez que ellas mismas y por eso hace falta saber si existe algún límite.

 

Otra lectura alternativa que podría hacerse es que siempre quedarán preguntas por responder. Que es a fin de cuentas la principal motivación de los científicos.

 

Referencias:

Gödel vs. Artificial Intelligence.
Vida de Kurt Gödel.

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Trackbacks/Pingbacks a esta entrada:
    1. Felipe García dice:

      Migui En el foro e-100cia (mensaje 170) incluí una demostración de que la teoría de conjuntos es contradictoria. La discusión se llama Errores de Georg Cantor en la elaboración de la teoría de conjuntos transfinitos y está en el subforo de matemáticas de estudios universitarios Te paso aquí un hipervínculo por si quieres hecharle un vistazo e incluir algún comentario. http://e-ciencia.com/opinion/foros/index.php/topic,16327.165.html Saludos cordiales Felipe García (fegapa) fegapa@hotmail.com

    2. Dan dice:

      tu que sabes arto. :P